0.999....等于1吗

今天微博上看到这么一张图:

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然后有数学系的同学表示无限循环小数不能这么做加减法,于是我不失时机地提出,1/9=0.1111111111111……,所以0.999999999999……=9×1/9=1,结果继续被鄙视,说无限循环小数不能这么直接四则运算,并说应当用泰勒展开来做……作为一个虽然管理学院毕业但是好歹还是学过数学分析然而学得很差正巧今晚有点兴致而且不折腾不舒服星人,还是在Google了一下“泰勒展开”这个听上去无比耳熟的名字之后,想了一个用无穷级数的做法出来:

令a(n)=9/10^n,然后S(n)=a(1)+a(2)+…+a(n),因为a(n)收敛,所以S(n)收敛。计算S(n)==1-1/10^n。显然S(n)收敛。(不要叫我证明为啥Sn收敛了吧……)当n趋向无穷大时,S(n)就等于0.9999……取极限算出来S(n)=0.9999999……=0.9/(1-0.1)=1

然后就这个做法大家发生了分歧,有数学系的同学指出这么做是对的,有其他学校数学系的同学指出这么做相当于什么都没有证明……欢迎大家回复讨论。。。

Update:马大人 @maajiaa 给出了一个wiki链接,上面已经给出了各种证明方式。。。好像那张图上面的也是一种方法哦。。。。

Update2:有人指出a(n)收敛不代表S(n)收敛。。。我改。。。

另外一个很大的收获是在搜索泰勒展开的时候以外看到这么一段话,很喜欢,抄在这里:

我们的人生是解析函数吗?如果是的话,我们可以在最短最短时间内我们所经历的一切,外推到整个人生。所以说,如果人生是解析函数的话,那就太棒了。我们只要活一点点,我们就可以用一点点的生涯去幻想无穷无尽的生命到底是长什么样子。

有一个我很敬佩的数学家,他说过一句话,“死并不可怕,死只是我所遇到的最后一个函数”。意思就是说,其实他认为人生并不是解析函数,他在那个时候已经认识到了,人生是充满着断点,跳跃,以及不连续点,人生是一个非常非常算是 正规 的函数。因为事实上,Weierstrass已经证明:处处连续但处处不可微分的函数才是函数的常态。